調査を依頼していることを家族にバレずに依頼することは可能ですか？

可能です。
連絡を取る必要のある場合は、携帯やメールで連絡をしたり、会社名が入っていない封筒で郵便物を郵送したりする方法をとります。
調査というものは基本的に誰にも知られずに行う方がいいです。
どこから情報が漏れるかわかりませんので、可能な限りご家族やご友人にも秘密にされていた方がいい場合が多いです。